Moses Löb Bamberger wurde am 3. Dezember 1902 als Sohn des Rabbiners Seckel Bamberger und dessen Frau Nannette geb. Bamberger in Bad Kissingen geboren. Nach dem Besuch der Kissinger Realschule zwischen 1912 und 1918 legte er an der Kreis-Oberrealschule Würzburg Ende April 1921 sein Abitur ab. Er studierte an der Universität Würzburg (1921), der Universität Berlin (1921-1924), dem Berliner Rabbinerseminar sowie der Universität Gießen (1924-1925), an der er bei Rudolf Strothmann promovierte. Sein Diplom erhielt er dort am 10. August 1928 ausgehändigt. Seit dem Frühjahr 1928 lebte er wieder bei seinen Eltern in Bad Kissingen. 

1929 trat er als Nachfolger des hochverehrten Rabbiners Dr. Jonas Bondi seine erste Stelle als Bezirksrabbiner und Schulleiter in Mainz an, die er bis 1938 ausübte. Er heiratete die 1901 in Frankfurt/Main geborene Rabbinertochter Jaqueline (Zerline) Falk, mit der er sechs Kinder hatte.

Als Moses Löb und sein Bruder Simon im November 1938 nach Bad Kissingen kamen, um am vierten Todestag das Grab des Vaters zu besuchen, wurden sie zusammen mit ihrer Schwester Kela Bamberger in der Pogromnacht verhaftet. Am Nachmittag des 10. Novembers kettete man die beiden Rabbiner zusammen mit anderen Kissinger Juden wie Schwerverbrecher aneinander und trieb sie vom Amtsgerichtsgefängnis durch die Stadt zum jüdischen Friedhof. Die Söhne des ehemaligen Kissinger Rabbiners baten die Polizeibeamten, ihnen diese Entehrung und Demütigung doch zu ersparen, und versprachen ihnen dafür, nicht zu fliehen. Die Polizeibeamten gingen auf ihre Bitte jedoch nicht ein. Am Friedhof angekommen, mussten sie mit den anderen jüdischen Gefangenen an einer von den Polizisten bezeichneten Stelle die Erde ausheben. Die Kissinger Polizei glaubte nämlich in Erfahrung gebracht zu haben, dass „vor einiger Zeit verschiedenes, belastendes Material“ im jüdischen Friedhof vergraben worden sei. Statt des erwarteten „belastenden Materials“ fand die Polizei aber lediglich eine Reihe von unbrauchbar gewordenen Büchern und Thorarollen, die nach jüdischem Brauch in einem eigenen Grab beigesetzt worden waren. Nach Beendigung der Grabung wurden die jüdischen Gefangenen wieder Hand an Hand gekettet und auf entwürdigende Weise zum Amtsgerichtsgefängnis zurückgeführt. Moses Löb und Simon Bamberger wurden sogar noch auf zynische Weise gezwungen, eine Kurtaxe für ihren Aufenthalt in Bad Kissingen in Höhe von 10 Reichsmark zu zahlen. Anschließend wurden die beiden Brüder von Bad Kissingen aus in das KZ Dachau deportiert, später aber wieder freigelassen.

1939 entschloss sich Moses Löb zur Emigration nach England, er plante wohl, von dort in die USA zu emigrieren, denn auf einer Passagierliste der SS Lagonia, die am 12. August 1939 aus Liverpool nach New York ablegte, war er mit seiner Frau und den Kindern bereits eingetragen. Allerdings sind ihre Namen in der Liste durchgestrichen und mit dem Vermerk versehen, dass sie die Reise nicht angetreten hätten. Aus welchem Grund sie nicht an Bord gingen, ist nicht bekannt. Moses Löb wurde nach Kriegsbeginn als "feindlicher Ausländer" interniert und im November 1940 wieder freigelassen.  Er fand später in Nottingham eine Anstellung als Rabbiner. 1944 gründete er die Jewish Boarding School / Jeschiwa in Gateshead, deren Leiter er auch war. Er starb dort im August 1960.